本文引用文献：1）《大话数据结构》作者：程杰；2）《数据结构（c语言版）》作者：严蔚敏
关于树的一些概念
定义
树（Tree）是n（n>=0）个结点的有限集。在任意一颗非空数中：
（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
（2）当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1,T2,…,Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为子树（SubTree）。
如下图所示
在这个图中，（a）是只有一个根结点的树；（b）是有13个结点的树，其中A是根，其余结点分成3个互不交集的子集：
- T1={B，E,F,K,L}
- T2={C,G}
- T3={D,H,I,J,M}
T1,T2,T3都是根A的子树，且本身也是一棵树。例如T1，其根为B，其余结点分为两个不相交的子集：
- T11={E,K,L}
- T12={F}
T11与T12都是B的子树，而T11中E是根，{K}和{L}是E的两颗互不相交的子树，其本身又是只有一个根结点的树。
注：互不相交是树定义中的一个重要概念，如下图中的两个结构就有相交，不符合树的定义。
以上可以看出树的结构定义是递归的定义，即在树的定义中又用到树的概念，它道出了树的固有特性。
结点分类
树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度(Degree)。度为0的结点称为叶结点(Leaf)或终端结点;度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。如图6-2-4所示，因为这棵树结点的度的最大值是结点D的度，为3，所以树的度也为3。
结点间关系
结点的子树的根称为该结点的孩子(Child)，相应地，该结点称为孩子的双亲(Parent)。恩，为什么不是父或母，叫双亲呢?对于结点来说其父母同体，唯一的一个，所以只能把它称为双亲了。同一个双亲的孩子之间互称兄弟(Sibling)。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。以下图为例，对于H来说，D、B、A都是它的祖先。反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。B的子孙有D、G、H、I。
树的其它概念
结点的层次(Level)从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。若某结点在第n层，则其子树的根就在第n+1层。其双亲在同一层的结点直为堂兄弟。显然下图中的D、E、F是堂兄弟，而G、H、I、J也是。树中结点的最大层次称为树的深度(Depth)或高度，这棵树的深度为4。
如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。
森林(Forest)是m(m>0)棵互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。
对比线性表与树的结构，它们有很大的不同，如下图所示。
树的存储结构
树的存储结构可以有三种表示方法：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。
双亲表示法
我们知道树的结构，除了根结点外，其余每个结点，它不一定有孩子，但是一定有且仅有一个双亲。
我们假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置。也就是说，每个结点除了知道自己是谁以外，还知道它的双亲在哪里。它的结点结构如下图所示。
其中data是数据域，存储结点的数据信息。而parent是指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标。
由于根结点是没有双亲的，所以我们约定根结点的位置域设置为-1，这也就意味着，我们所有的结点都存有它双亲的位置。如图6-4-1中的树结构和表6-4-2中的树双亲表示所示。
这样的存储结构，我们可以根据结点的parent指针很容易找到它的双亲结点，所用的时间复杂度为O(1)，直到parent为-1时，表示找到了树结点的根。可如果我们要知道结点的孩子是什么，对不起，请遍历整个结构才行。
这真是麻烦，能不能改进一下呢?
当然可以。我们增加一个结点最左边孩子的域，不妨叫它长子域，这样就可以很容易得到结点的孩子。如果没有孩子的结点，这个长子域就设置为-1，如表6-4-3所示。（表中下标为0的firstchild应该为1）
对于有0个或1个孩子结点来说，这样的结构是解决了要找结点孩子的问题了。甚至是有2个孩子，知道了长子是谁，另一个当然就是次子了。
另外一个问题场景，我们很关注各兄弟之间的关系，双亲表示法无法体现这样的关系，那我们怎么办?嗯，可以增加一个右兄弟域来体现兄弟关系，也就是说，每一个结点如果它存在右兄弟，则记录下右兄弟的下标。同样的，如果右兄弟不存在，则赋值为-1 ，如表6-4-4所示。
但如果结点的孩子很多，超过了2个。我们又关注结点的双亲、又关注结点的孩子、还关注结点的兄弟，而且对时间遍历要求还比较高，那么我们还可以把此结构扩展为有双亲域、长子域、再有右兄弟域。存储结构的设计是一个非常灵活的过程。一个存储结构设计得是否合理，取决于基于该存储结构的运算是否适合、是否方便，时间复杂度好不好等。注意也不是越多越好，有需要时再设计相应的结构。
孩子表示法
换一种完全不同的考虑方法。由于树中每个结点可能有多棵子树，可以考虑用多重链表，即每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一棵子树的根结点，我们把这种方法叫做多重链表表示法。不过，树的每个结点的度，也就是它的孩子个数是不同的。所以可以设计两种方案来解决。
方案一
一种是指针域的个数就等于树的度，复习一下，树的度是树各个结点度的最大值。其结构如表6-4-5所示。
其中data是数据域。childl到childd是指针域，用来指向该结点的孩子结点。
对于图6-4-1的树来说，树的度是3，所以我们的指针域的个数是3，这种方法实现如图6-4-2所示，其中^表示null。
这种方法对于树中各结点的度相差很大时，显然是很浪费空间的，因为有很多的结点，它的指针域都是空的。不过如果树的各结点度相差很小时，那就意味着开辟的空间被充分利用了，这时存储结构的缺点反而变成了优点。
既然很多指针域都可能为空，为什么不按需分配空间呢。于是我们有了第二种方案。
方案二
第二种方案每个结点指针域的个数等于该结点的度，我们专门取一个位置来存储结点指针域的个数，其结构如表6-4-6所示。
其中data为数据域，degree为度域，也就是存储该结点的孩子结点的个数，child1到childd为指针域，指向该结点的各个孩子的结点。
对于图6-4-2的树来说，这种方法实现如图6-4-3所示。
这种方法克服了浪费空间的缺点，对空间利用率是很高了，但是由于各个结点的链表是不相同的结构，加上要维护结点的度的数值，在运算上就会带来时间上的损耗。
能否有更好的方法，既可以减少空指针的浪费又能使结点结构相同。
仔细观察，我们为了要遍历整棵树，把每个结点放到一个顺序存储结构的数组中是合理的，但每个结点的孩子有多少是不确定的，所以我们再对每个结点的孩子建立一个单链表体现它们的关系 。
这就是我们要讲的孩子表示法。
具体办法是，把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中
，如图6-4-4所示。
为此，设计两种结点结构，一个是孩子链表的孩子结点，如表6-4-7所示。
其中child是数据域，用来存储某个结点在表头数组中的下标。next是指针域，用来存储指向某结点的下一个孩子结点的指针。
另一个是表头数组的表头结点，如表6-4-8所示。
其中data是数据域，存储某结点的数据信息。firstchild是头指针域，存储该结点的孩子链表的头指针。
这样的结构对于我们要查找某个结点的某个孩子，或者找某个结点的兄弟，只需要查找这个结点的孩子单链表即可。对于遍历整棵树也是很方便的，对头结点的数组循环即可。
但是，这也存在着问题，我如何知道某个结点的双亲是谁呢?比较麻烦，需要整棵树遍历才行，难道就不可以把双亲表示法和孩子表示法综合一下吗?当然是可以。如图6-4-5所示。
我们把这种方法称为双亲孩子表示法，应该算是孩子表示法的改进。
孩子兄弟表示法
刚才我们分别从双亲的角度和从孩子的角度研究树的存储结构，如果我们从树结点的兄弟的角度又会如何呢? 当然，对于树这样的层级结构来说，只研究结点的兄弟是不行的，我们观察后发现，任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。 因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。结点结构如表6-4-9所示。
其中data是数据域，firstchild为指针域，存储该结点的第一个孩子结点的存储地址，rightsib是指针域，存储该结点的右兄弟结点的存储地址。
对于图6-4-1的树来说，这种方法实现的示意图如图6-4-6所示。
这种表示法，给查找某个结点的某个孩子带来了方便，只需要通过firstchild找到此结点的长子，然后再通过长子结点的rightsib找到它的二弟，接着一直下去，直到找到具体的孩子。当然，如果想找某个结点的双亲，这个表示法也是有做陷的，那怎么办呢?
对，如果真的有必要，完全可以再增加一个parent指针域来解决快速查找双亲的问题，这里就不再细谈了。
其实这个表示法的最大好处是它把一棵复杂的树变成了一棵二叉树。我们把图6-4-6变变形就成了图6-4-7这个样子。
这样就可以充分利用二叉树的特性和算法来处理这棵树了。